Question

已知数列中，，且

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；

(Ⅲ) 令，数列的前项和为．求证：对任意，

都有 。

Answer

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)证明见解析。

【解析】(Ⅰ)由题知， ，

由累加法，当时，

代入，得时，

又，故．                        ．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）时，．

方法1：当时，；当时，；

当时，．

猜想当时，．                                ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

下面用数学归纳法证明：

①当时，由上可知成立；

②假设时，上式成立，即.

当时，左边

，所以当时成立．

由①②可知当时,．                       

综上所述：当时,；当时, ；

当时,．                       ．．．．．．．．．．．．．．．10分

方法2：

记函数

所以                     ．．．．．．．．．6分

则

所以．

由于，此时；

，此时；

，此时；

由于，，故时，，此时．

综上所述：当时，；当时,．    ．．．．．．．．．．．10分

（III）

当时，

所以当时

＋．

且

故对，得证．          ．．．．．．．．．．．．．．．．．14