Question

（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）在区间，内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．

【解析】（Ⅰ）【解析】
当时，，，

又，．

所以，曲线在点处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）【解析】
．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．

函数在处取得极小值，且，

函数在处取得极大值，且．

（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．