Question

（本小题满分14分）

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）点的轨迹方程为

【解析】（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为 ．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记（显然），点的坐标满足方程组

由①式得． ③

由②式得． ④

将③式代入④式得．

整理得，

于是． ⑤

由①式得． ⑥

由②式得． ⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是． ⑧

由知．将⑤式和⑧式代入得，

．

将代入上式，得．

所以，点的轨迹方程为．