Question

（本小题满分14分）

   在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于

坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

  （1）求圆C的方程；

  （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段

OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）略

（2）存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长

【解析】(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8

已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

=2

即=4       ①                              

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

m2+n2=8           ②

联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为      +      =1

其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。