Question

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

Answer

（1）“果圆”方程为， 

（2）

（3）在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，

即不在某一椭圆上．

    当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

【解析】（1） ，

，

    于是，所求“果圆”方程为               

    ， 

（2）由题意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．               

    （3）设“果圆”的方程为，．

    记平行弦的斜率为．

当时，直线与半椭圆的交点是

，与半椭圆的交点是．

 的中点满足  得 ．

     ， ．

    综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 

    当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．  

由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，

即不在某一椭圆上．

    当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．