Question

（本小题满分14分）设函数,其中.

(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;

(II)求函数的极值点;

(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.

Answer

(I) 在上递增，在上递减，当时,函数在定义域上单调递增。

(II) 时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点。

 (III) 对任意正整数，取得

【解析】【解析】
(I) 函数的定义域为.

，

令，则在上递增，在上递减，

.

当时，，

在上恒成立.

即当时,函数在定义域上单调递增。

（II）分以下几种情形讨论：

（1）由（I）知当时函数无极值点.

（2）当时，，

时，

时，

时，函数在上无极值点。

（3）当时，解得两个不同解，.

当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.

当时，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点.

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点。

（III） 当时，

令则

在上恒正，

在上单调递增，当时，恒有.

即当时，有，

对任意正整数，取得