Question

（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到

的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，

AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

   （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

   （2）求二面角B—AC—A₁的大小；

   （3）求此几何体的体积．

                  

Answer

(1) OC∥平面A1B1C1

(2) 二面角的大小为

(3)

【解析】（1）证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

（3）因为，所以

所求几何体体积为

．

解法二：

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

（2），，

设是平面的一个法向量，则

则得：

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则,

结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．