Question

（本小题满分14分）

设正整数数列{a_n}满足：a₂＝4，且对于任何

n∈N^*，有．

   （1）求a₁，a₃；

   （2）求数列{ a_n }的通项a_n ．

Answer

（1），

（2）对任意，

【解析】【解析】
（1）据条件得    ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即                       ②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是 ③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则 ④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．