Question

（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形,  为中点.

（Ⅰ）证明：平面

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

     

Answer

（Ⅰ）平面

（Ⅱ）二面角的余弦值为

【解析】证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且

SO=SA，

从而OA2+SO2 =SA2，               ……3分

所以△SOA为直角三角形，.

又AO∩BC=O，

所以SO⊥平面ABC.                ……6分

（Ⅱ）解法一：

取SC中点M, 连结AM, OM, 由（Ⅰ）知, 得OM⊥SC，AM⊥SC.

为二面角的平面角.                             ……9分

由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC得

AO⊥平面SBC，

所以AO⊥OM. 又，故

所以二面角的余弦值为                             ……12分

解法二：

以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

设B(1,0,0)，则

SC的中点

，.

故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角.  ……9分

所以二面角的余弦值为                             ……12分