Question

（本小题满分12分）

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

（I）若，，，存在，求的取值范围；

（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．

Answer

（I）-2＜t＜2且

（II）对任意的，＜

【解析】解法一：由题设知得，又已知,可得

由 其首项为.于是

又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得

由可知,所以是首项为,公的等比数列.

由 可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.

=2

解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即

①

于是有

②

②-①得

由，所以是首项为b公比为的等比数列，于是

（b2-b1）+2b.

又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.

(Ⅱ)证明：因为.

下面用数学归纳法证明＜.

(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且＜1,得

＜1

＜1

＜，

即＜，结论成立.

（2）假设n=k时结论成立，即＜.由f(x)为增函数，得

＜f即＜进而得

＜f()即＜.

这就是说当n=k+1时，结论也成立.

根据（1）和（2）可知，对任意的，＜.