Question

（本小题满分12分）

已知函数，．

（I）证明：当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数    ，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：．

Answer

（I）当时，在上是增函数

（II）取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

（III）

【解析】证明：由题设得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0.

由此可知，为R上的增函数.

(Ⅱ)证法一：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t

＜0，即t＞

在闭区间[a,b]上成立即可.

因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时, ＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

证法二：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时

＜0，

在闭区间[a,b]上成立即可.

令则＜0()当且仅当

＜0().

而上式成立只需

即

成立.取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

(Ⅲ)证法一：设

易得

≥.

令则易知当x＞0时, ＞0;当x＜0, ＜0.故当x=0时，取最小值，所以

≥，

于是对任意x、t，有≥，即≥.

证法二：设=

≥，当且仅当

≥0

只需证明

≤0，即

≥1

以下同证法一.

证法三：设=，则

易得当t＞时, ＞0; t＜时, ＜0，故当t=取最小值即

≥

以下同证法一.

证法四:

设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则

≥

以下同证法一.