Question

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。

（I）按下列要求写出函数关系式：

①设，将表示成的函数关系式；

②设，将表示成的函数关系式。

（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

Answer

（I）①

②

（Ⅱ）选择函数模型①，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。

【解析】本小题考查函数最值的应用。

（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则

故，又，所以

。

②，则，所以，

所以所求的函数关系式为。

（Ⅱ）选择函数模型①。

。

令得，又，所以。

当时，，是的减函数；时，，是的增函数。

所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。