Question

（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当时，求的数值；②求的所有可能值；

（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

Answer

（I）①；②

（II）略

【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。

（I）①当时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。

若删去，则有，即，化简得；

若删去，则有，即，化简得。

综上可知。

②当时， 中同样不可能删去首项或末项。

若删去，则有，即，化简得；

若删去，则有，即，化简得，舍去；

若删去，则有，即，化简得。

当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。

（II）略