Question

(3’+5’+8’)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x²＝2py（p≠0）的异于原点的交点

（1）若a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标；

（2）若点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y²＝1上，p＝，

求证：点Q落在双曲线4x²－4y²＝1上；

（3）若动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

Answer

（1）

（2）证明见解析。

（3）点的轨迹落在双曲线上。

【解析】

（1）当时，

解方程组     得  即点的坐标为    ……3分

（2）证明：由方程组    得  

 即点的坐标为                                    ……5分

时椭圆上的点，即    ，

因此点落在双曲线上                        ……8分

（3）设所在的抛物线方程为                ……10分

将代入方程，得，即   ……12分

当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；

当时，  ，此时点的轨迹落在圆上；

当时，，此时点的轨迹落在椭圆上；

当时，此时点的轨迹落在双曲线上； ……16分