Question

(本小题满分14分)

设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点

       （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

       （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

Answer

（1）椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）存在，有4个点，理由见解析。

【解析】 对于（１）重点要抓住抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1，故先要设法求出点Ｇ及抛物线在点G的切线，再求F1，利用同一个F1求出b即可；对于（２）首先要注意直角三个角均有可能为直角，不要遗漏，对于为直角的情况可利用向量或斜率求解；

（1）由得，

当得，G点的坐标为，，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，

即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。

关于的二次方程有一解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。