Question

(本小题满分14分)

       如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°, ∠BDC=45°,PD垂直底面ABCD,PD=分别是PB,CD上的点,且,过点E作BC的平行线交PC于G.

（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；

（2）证明:△EFG是直角三角形；

（3）当时,求△EFG的面积。

Answer

（1）

（2）证明见解析。

（3）

【解析】该题考查了主要考查了线面夹角，难度并不是太大，首先可尝试找线面角，在直接找角有难度的情况下可考虑求点到面的距离。对于（２）由于∥ＢＣ，故可以设法证明；对于（３）可以利用比例关系设法求出ＥＧ，ＦＧ，再利用（２）的结论求解即可。

 （1）在中，∵，而ＰＤ垂直底面ABCD,

,

在中，,即为以为直角的直角三角形。

设点到面的距离为,由有,即

;

（2）,而,即,，,是直角三角形；

（3）时,,

即,

的面积