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(本小题满分12分) 如图,在直三棱柱中,平面侧面。 (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若直...

(本小题满分12分)

如图,在直三棱柱6ec8aac122bd4f6e中,平面6ec8aac122bd4f6e侧面。

(Ⅰ)求证:6ec8aac122bd4f6e

(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θφ的大小关系,并予以证明。

说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

(Ⅰ)证明见解析。 (Ⅱ),证明见解析。 【解析】(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC,所以AD⊥BC。 因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC。 又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1,故AB⊥BC。 (Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知是直线AC与平面A1BC所成的角, 是二面角A1—BC—A的平面角,即 于是在中,在中,, 由,得,又,所以。 解法2:由(1)知,以点为坐标原点,以、、所在的直线分轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设, 则, 于是,。 设平面的一个法向量为,则 由得 可取,于是与的夹角为锐角,则与互为余角。 所以,, 所以。 于是由,得, 即,又所以。 第(1)问证明线线垂直,一般先证线面垂直,再由线面垂直得线线垂直;第(2)问若用传统方法一般来说要先作垂直,进而得直角三角形。若用向量方法,关键在求法向量。
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6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

……………………………………

6ec8aac122bd4f6e

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