Question

（本小题满分12分）

　　　如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点。

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，值有，求a的取值范围。

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）（，+）

【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

    解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

                所以,

                即1＝

                因此，椭圆方程为

            (Ⅱ)设

             (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

               (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

                    设直线AB的方程为：

                    整理得

                    所以

                    因为恒有，所以AOB恒为钝角.

                    即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，

即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.

当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.

a20,b>0,所以a0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）【解析】
（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,

故x1+x2=

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,

得x1x2+ y1y2<0恒成立.

x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

=(1+k2).

由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.

①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；

②当a2- a2 b2+b2=0时，a=;

③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.