Question

（本小题满分14分）

　　　已知函数f(x)=ln(1+x)-x₁

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为b_x令a_n=ln(1+n)-b_x。

（ⅰ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

（ⅱ）求证： 。

Answer

（Ⅰ）-10，f(x)的单调递增区间为（0，+）.

（Ⅱ）（ⅰ）（-，1）

（ⅱ）证明见解析。

【解析】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.

解法一：

（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f〃(x)=-1=.

由f〃(x)>0得-10，f(x)的单调递增区间为（0，+）.

(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,

则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

>

又lim,

因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）.

（ⅱ）由（i）知

因为[]2

=

所以＜(nN*),

则＜

N*）

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以

则

（i）因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立.

则对n∈N*恒成立.

设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立.

考虑

因为＝0，

所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，

又因为＝1.

所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用数学归纳法证明不等式

     ①当n=1时，左边＝，右边＝，左边<右边.不等式成立.

     ②假设当n=k时,不等式成立.即

当n=k+1时，

=

即n＝k＋1时，不等式成立

综合①、②得，不等式成立.

所以

即.