Question

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，在中，B=，AC=，D、E两点分别在AB、AC上。使

，DE=3。现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）。

Answer

（Ⅰ）2

（Ⅱ）

【解析】 解法一：

（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC。又因B＝90°，从而

AD⊥DE。

在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从

而AD⊥DB，而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线。

下求DB之长.在答（19）图1中，由，得。

又已知DE=3，从而。

     。

因。

（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF。由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面

角.

在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此

从而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、

y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），

，E（0，3，0）.

过D作DF⊥CE,交CE的延长线

于F，连接AF.

设从而

   ，有

         ①

   又由       ②

   联立①、②，解得

   因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小为