Question

已知函数有三个极值点。

（I）证明：；

（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

Answer

（1）同解析；(2) 的取值范围是.

【解析】【解析】
（I）因为函数有三个极值点,

所以有三个互异的实根.

设则

当时， 在上为增函数;

当时， 在上为减函数;

当时， 在上为增函数;

所以函数在时取极大值,在时取极小值.

当或时,最多只有两个不同实根.

 因为有三个不同实根, 所以且.

 即,且,

解得且故.

（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.

 不妨设为（），则

所以的单调递减区间是,

若在区间上单调递减，

则, 或,

若,则.由（I）知，,于是

若,则且.由（I）知，

又当时，;

当时，.

因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.

综上所述, 的取值范围是.