Question

（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4,AA₁，

点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E

.

（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁;

（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值。

Answer

（1）平面A1DE⊥平面ACC1A1。

(2)正弦值为。

【解析】（1）证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC。

又DE平面ABC，所以DE⊥AA1。

而DE⊥A1E，AA1 A1E= A1，所以DE⊥平面ACC1A1。

又DE平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1。

(2)【解析】
过点A作AF⊥A1E=F，连结DF。

由（1）知，平面A1DE⊥平面ACC1A1，所以AF⊥平面A1DE。

故∠ADF即直线AD和平面A1DE所成的角。

因为DE⊥ACC1A1，所以DE⊥AC。

而ΔABC是边长为4的正三角形，于是

。

又因为AA1=，

所以A1E=，，，即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为。