Question

（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M（0，-2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足=(-4,-12).

 

（1）求直线l和抛物线的方程；

（2）当抛物线上一动点P在点A和B之间运动时，求ΔABP面积的最大值．

Answer

（1）直线方程为y=2x-2,抛物线方程为

（2）最大值为。

【解析】【解析】
（1）根据题意可设直线l的方程为y=kx-2。------（1）

抛物线方程为。-----（2）

（1），（2）联立得，。

设点A()，B（），则，。

所以=（-4，-12）

所以解得p=1,k=2

故直线方程为y=2x-2,抛物线方程为

（2）根据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，ΔABP的面积最大。

设点P（x0,y0），因为，则，解得，又，所以P(-2,-2)。此时，点P到直线l的距离。

由，得。

则，所以。

故ΔABP面积的最大值为。