Question

（本小题满分14分）

如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F

是CD的中点.

  

（1）求证：AF平面CDE；

   （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.

Answer

（本小题满分14分）

（1）AF平面CDE                                   

(2)二面角为45°.---

【解析】（本小题满分14分）

解:（1）∵F为CD的中点，△ACD是正三角形，

∴AFCD.                                  ------------------------------------1分

又∵AB⊥平面ACD  AF平面ACD ，

∴ABAF，                                 ------------------------------------2分

∵AB//DE ，∴AFDE.                    ----------------------------------------3分

又∵CD平面CDE，DE平面CDE，且      -----------------4分

∴AF平面CDE                                   --------------------------5分

(2) 过A作AP//CD .

∵AB⊥平面ACD,  AFCD,  AF平面ACD,  ∴ ABCD,  ABAF .

    ∴ABAP,  ABAF ,  APAF                       ------------------------6分

以A为坐标原点，AF，AP，AB所在的直线分别为x，y，z轴（如图），

建立空间直角坐标系A—xyz.                           -------------------------7分

设AD=2，则,----10分

则                -----------------------11分

设为平面的法向量,

则,即

令,则 .  ----------------------12分

显然，为平面ACD的法向量.

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为,则

所以，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.--------------------14分