Question

(本小题满分14分) 已知函数，(x>0)．

（1）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求的值  ；   

（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范围．

Answer

（14分）（1）．

  （2）不存在满足条件的实数a，b．

（3）

【解析】（14分）【解析】
（1） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

由00． 而

①当时，在（0，1）上为减函数．

故     即  解得  a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

②当时，在上是增函数．

故     即 

此时a，b是方程的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

③当，时，由于，而，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

      综上可知，不存在适合条件的实数a，b．         …………………………8分

（3）若存在实数a，b（a0，m>0．

①   当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．                              

②   当，时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函数，

     ∴ 即    所以a、b是方程的两个根．

即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根．

设这两个根为、，则+=，·=．

∴       即    解得   ．

    故m的取值范围是．    ……………………………14分