Question

（本题满分10分）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数≥2，有.

Answer

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

（1）因为方程有实数根，所以。

当时，有，又b，故总有，此时a有种取法，b有n2种取法，所以共有组有序数组（a，b）满足条件。

当时，满足的b有a2个，故共有组有序数组（a，b）满足条件。

（2）我们只需证明：对于随机选取的a，b，方程无实数根的概率。若方程无实数根，则，由。因此，满足的有序数组（a，b）的组数小于，从而，方程无实数根的概率。所以。