Question

已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

   （I）求与的值；

   （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】【解析】
（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义：点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当   则。

联立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直线斜率为

，联立方程

整理得：，即：

 ，解得：，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

MN是抛物线的切线，， 整理得

，解得（舍去），或，