Question

已知向量，，其中，设，且函数的最大值为。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，求函数的最大值和最小值以及对应的值；

（Ⅲ）若对于任意的实数，恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ），此时；

，此时。

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）由题意知，

令，则，从而，

对称轴为。

①当，即时，

在上单调递减，；

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减

∴；

③当，即时，

在上单调递增，；

综上， 。        ………………4分

（Ⅱ）由知，。又因为在上单调递减，在上单调递增，∵∴，此时；

，此时。   ………………7分

（Ⅲ）当时，得，即；

当时，得，即；

当时，，得，

令，则对称轴为，下面分情况讨论：

①当时，即时，在上单调递增，从而只须

即可，解得，从而；

②当时，即，只须，解得，从而；

③当时，即时，在上单调递减，从而只须

即可，解得，从而；

  综上，实数的取值范围是。      ………………10分