Question

已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x­ - y） = 成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x < 2a时，f（x） > 0．

（1）判断f（x）奇偶性；

（2）证明f（x）为周期函数；

（3）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值．

Answer

奇函数，f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a) = 0，最小值为f（3a）= - 1

【解析】【解析】
（1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，

又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），对于定义域内的每个x值都成立

∴ f（x）为奇函数-------------------------------------------------------（4分）

（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a．------------------------------（8分）

（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，

f（3a）= f（2a + a）= f [2a -（- a）]= = = - 1．

先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x） < 0，

设2a < x < 3a，则0 < x - 2a < a，

∴ f（x - 2a）= = - > 0，∴ f（x）< 0---（10分）

设2a < x1 < x2 < 3a，

则0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0   f（x2）< 0  f（x2 - x1）> 0，

∴ f（x1）- f（x2）= > 0，∴ f（x1）> f（x2），

∴ f（x）在[2a，3a]上单调递减------------------------------------（12分）

∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a) = 0，最小值为f（3a）= - 1。

…………(14分