Question

（本题满分14分）如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥面ABCD，∠PAD=45°，空间一点E在平面ABCD上的射影是点B，且PB⊥面AEC.

（1）求直线AD与平面AEC所成的角的正切值；

（2）若F是AP的中点，求直线BF与CE所成角.

Answer

,

【解析】解:

(1)∵在正方形ABCD中AD∥BC，

∴AD与平面AEC所成的角即

为BC与平面AEC所成的角

∵PB⊥面AEC，

∴BC与平面AEC所成的角的余角即为∠PBC，

又BC⊥CD且BC⊥PD，所以BC⊥PC，tan∠PBC==，

设BC与平面AEC所成的角为θ，

 则tanθ=                          ……………7分

(2)∵PB⊥面AEC，∴PB⊥EC，

又空间一点E在平面ABCD上的射影是点B，AB⊥BC，

所以由三垂线定理可以得到AB⊥EC，

故EC⊥面PAB，所以EC⊥BF，

即EC与BF成                          ……………14