Question

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。

   （1）求证：AB₁//面BDC₁；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置。

Answer

点P位置是在线段AB1上且

【解析】【解析】
（1）连接B1C，交BC1于点O，

  则O为B1C的中点，D为AC中点，

     ，又平面BDC1，平面BDC1

           BDC1    3分

   （2）平面ABC，BCAC，AA1//CC­1，面ABC，

       则BC平面AC1，CC1AC

       如图建系，则

       设平面C1DB的法向量为      则

       又平面BDC的法向量为

       二面角C1—BD—C的余弦值：  8分

   （3）设，

又面BDC1，

       解得

       所以AA1=2，点P位置是在线段AB1上且 12分