已知函数，其定义域为（），设。（Ⅰ）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；...

已知函数，其定义域为（），设。

（Ⅰ）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数。

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）证明见解析。【解析】（Ⅰ）因为……1分由；由，所以在上递增，在上递减。……3分要使在上为单调函数，则。……4分（Ⅱ）。因为在上递增,在上递减，所以在处取得极小值，……6分又，所以在上的最小值为，……8分从而当时，，即。……9分（Ⅲ）证明：因为，所以，即为, 令，从而问题转化为证明方程=0在上有解，并讨论解的个数 ……10分因为，，所以 ①当时，，所以在上有解，且只有一解；……12分 ②当时，，但由于，所以在上有解，且有两解。……13分 ③当时，，所以在上有且只有一解；当时，，所以在上也有且只有一解。……14分综上所述，对于任意的，总存在，满足，且当时，有唯一的适合题意；当时，有两个适合题意。 ……15分（说明:第（Ⅱ）题也可以令，，然后分情况证明在其值域内，并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数）

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考点分析：

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设为正实数，，，。