Question

（（10分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

（1）求证：PB⊥DM；

（2）求BD与平面ADMN所成的角.                           

Answer

30°

【解析】（1）证明  ∵N是PB的中点，PA=AB，

∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.             

又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.

∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM.                        

（2）解  连接DN，

∵PB⊥平面ADMN，

∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，                

在Rt△BDN中，

sin∠BDN===，                           

∴∠BDN=30°,即BD与平面ADMN所成的角为30°.