Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点.问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）T（0，1）

【解析】（Ⅰ）由

  因直线相切，，∴，

…… 2分

  ∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

    形，∴                                    ……  4分

    故所求椭圆方程为                             …… 5分

  （Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

    当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：  

    由

    即两圆公共点（0，1）

    因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）                 …… 8分

    （ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

    （ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：

    由

    记点、            …… 10分

    ∴TA⊥TB,

综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）.             …… 12分