Question

已知点M(-2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=，记动点P的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）若A、B是曲线C上不同的两点，O是坐标原点，求的最小值．

Answer

【解析】
（1）由题意知点P的轨迹是双曲线（a>0，b>0）的右半支，其中实半轴长a=，焦半距c=2，

∴ b2=c2-a2=2，

于是C的方程为(x>0)．           ……………………4分

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，．

若AB⊥x轴，此时x1=x2，y1=-y2，

∴ =x1x2+y1y2=．

∵ (x1，y1)在双曲线C上，

∴ =2，

即 =2．                           ……………………6分

若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+b，

由得(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0．

∵ A、B是双曲线右支上不同的两点，

∴ 1-k2≠0，且Δ>0，x1x2=>0，x1+x2=>0，

即 可解得00，从而>2．

综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2． …………………10分

【解析】略