Question

（本小题满分12分）.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF.

（1）求证：PC⊥面AEF.

（2）若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体P—AEFG的体积。

Answer

（1）证明：PA⊥面ABCD,BC在面内，∴ PA⊥BC  BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB，又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内AE⊥PC, AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF. ………5分

（2）PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C  AG⊥面PDC, ∵GF在面PDC内∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=,EF=GF=∴, 又AF=,PF=∴,∴           ………………12分

【解析】略