Question

（本小题满分12分）求证：3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．

Answer

方法1：二项式定理

证明：32n+2-8n–9=9n+1-8n–9=（8+1）n+1-8n–9                     ………………………………4分

=8n+1＋·8n＋…＋·82＋·8＋-8n-9

=82（8n-1+8n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9…………………8分

=64（8n-1+8n-2+…+）             …………………………………10分

∵8n-1+8n-2+…+∈Z，

∴32n+2-8n–9能被64整除．                                           …………………………………12分

方法2：数学归纳法

（1） 当n=1时，式子32n+2-8n–9=34-8-9=64能被64整除，命题成立．………………2分

（2） 假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除．       ………………………………4分

当n=k+1时，

32k+4-8（k＋1） -9

=9[32k+2-8k-9]＋64k＋64

＝9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）                                       …………………………………8分

因为32k+2-8k-9能够被64整除，

∴9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．                     …………………………………10分

即当n=k+1时，命题也成立．

由（1） （2） 可知，32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．……………………………12分

【解析】略