Question

（本题满分12分）

已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.

（1）求m的值；

（2）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

Answer

【解析】
(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞,－m)

－m

(－m,)

(,+∞)

f’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

极大值

极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f (－)＝，

所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

【解析】略