Question

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求棱与所成的角的大小；

（Ⅲ）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．

Answer

证明：（Ⅰ）∵面∴,               

 又，                        

∴面，                            

∵面，  ∴平面平面；

（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，                 

，

故与棱BC所成的角是．                         

（Ⅲ）因为P为棱的中点，故易求得．                               

设平面的法向量为，

则,由 得 

令，则                                                         

而平面的法向量=(1,0,0)，则       

由图可知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值是             

【解析】略