Question

设函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当时，的定义域是

        求导，得 

所以，在上为减函数，在上为增函数，.

又根据在上为减函数，则在上恰有一个零点；

又，则，所以在上恰有一个零点，

再根据在上为增函数，在上恰有一个零点.

综上所述，函数的零点的个数为2. 

（Ⅱ）令，

求导，再令  ，则   

（ⅰ）若，当时，，故在上为减函数，

所以当时，，即，则在上为减函数，

所以当时，,即成立；

（ⅱ）若， 方程的解为，

则当时，，故在上为增函数，

所以时，，即，则在上为增函数，

所以当时，, 即成立，此时不合题意.

综上，满足条件的正数的取值范围是．

【解析】略