Question

已知、分别是椭圆C: 的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过的弦AB两端点A、B与所成的周长是.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ） 已知点，是椭圆C上不同的两点，线段的中点为,

求直线的方程

Answer

（Ⅰ）  解:设椭圆C: 的焦距为2c,

∵椭圆C: 的焦距为2,   ∴2c=6,即c=3…………1分

又∵、分别是椭圆C: 的左焦点和右焦点,且过的弦AB两端点A、B与所成⊿AB的周长是.

∴⊿AB的周长 = AB+(AF2+BF2)= (AF1+BF1)+ (AF2+BF2)=4=

∴                                            …………4分

又∵, ∴∴椭圆C的方程是…………6分

（Ⅱ）解一： 点，是椭圆C上不同的两点，

∴，.…………7分

以上两式相减得：，…………8分                             

即，，…9分

∵线段的中点为，∴. …10分

∴，…………11分

当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，………12分

∴.          ……………………13分

 ∴直线的方程为，即.      ………14分

 解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意.

     故可设直线的方程为, .  ……8分

  由 消去，得   (*)

.             ………10分

  的中点为,

..解得.   ………12分                                                 

此时方程(*)为,其判别式.………13分

∴直线的方程为.         ………14分  

【解析】略