Question

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

Answer

证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.                     …………2分

∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD， ∴BD⊥PA .                      

又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.                  …………4分

【解析】
（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.      ……………6分                

又∵PA=AD，∴∠PDA=450 .    二面角P—CD—B的大小是 ……………8分

（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2∴PB=PD=BD= 

设C到面PBD的距离为d，由，…………10分

有，                              

即，得    ………14分

【解析】略