Question

已知、分别是椭圆C: 的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过的弦两端点与所成⊿的周长是.

（Ⅰ）.求椭圆C的标准方程.

（Ⅱ） 已知点，是椭圆C上不同的两点，线段的中点为.

求直线的方程；

（Ⅲ）若线段的垂直平分线与椭圆C交于点、，试问四点、、、是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）  解:设椭圆C: 的焦距为2c,

∵椭圆C: 的焦距为2,   ∴2c=6,即c=3…………1分

又∵、分别是椭圆C: 的左焦点和右焦点,且过的弦AB两端点A、B与所成⊿AB的周长是.

∴⊿AB的周长 = AB+(AF2+BF2)= (AF1+BF1)+ (AF2+BF2)=4=

∴                                            …………2分

又∵, ∴∴椭圆C的方程是…………4分

（Ⅱ）解一： 点，是椭圆C上不同的两点，

∴，.以上两式相减得：，                             

即，，

∵线段的中点为，∴.                                                            

∴，

当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，

∴. ∴直线的方程为，即.                    

由 消去，得，解得或.

∴所求直线的方程为.     ………………8分

 解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意.

     故可设直线的方程为, .           

  由 消去，得   (*)

.               的中点为,

..解得.                                                            

此时方程(*)为,其判别式.∴直线的方程为.                                     

（Ⅲ）由于直线的方程为，

则线段的垂直平分线的方程为，即.        

由  得，                               

由消去得，设

则.

∴线段的中点G的横坐标为，纵坐标.

∴.                                             

∴.

∵，

，                    

∴四点、、、在同一个圆上，此圆的圆心为点G，半径为，

其方程为.          …………14分    

【解析】略