Question

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点．

（1）若,求的值；

（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．

Answer

【解析】
（1）设直线的方程为，

将该方程代入得．

令，，则．

因为，解得，

或（舍去）．故．

   （2）由题意知，直线的斜率为．

又的导数为，所以点处切线的斜率为，

因此，为该抛物线的切线．

（3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设．

若为该抛物线的切线，则，

又直线的斜率为，所以，

得，因，有．

故点的横坐标为，即点是线段的中点． 

【解析】略