Question

正四棱锥中，，

点M，N分别在PA，BD上，且．

（Ⅰ）求异面直线MN与AD所成角；

（Ⅱ）求证：∥平面PBC；

（Ⅲ）求MN与平面PAB所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2。以点O为坐标原点，，方向分别是x轴、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），

设P（0，0，p）, 则=(-1,1,p)，又AP=2,∴1+1+p2=4,∴p=,

∵=,

,

∴,,

∵,∴异面直线MN与AD所成角为90o

（Ⅱ）∵,

设平面PBC的法向量为=(a,b,c), 则,

取= , ∵,∴MN∥平面PBC。      

（Ⅲ）设平面PAB的法向量为=(x,y,z),

由，∴则,        

取= , cos<> =,

∴MN与平面PAB所成角的正弦值是            

【解析】略