Question

某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

Answer

（本小题共15分）

【解析】
（Ⅰ）解法一：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在处相遇，

在中，，，

又，

所以，轮船航行时间，.

即，小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

解法二：设相遇时小艇航行的距离为海里，则

所以 当时，，此时.

即，小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

（Ⅱ）设小艇与轮船在处相遇，则

，

故.

，

即，解得.

又时，.

故时，.

此时，在中，有，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

解法二：由（Ⅰ）得

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设小艇与轮船在处相遇，，，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，

所以，解得，

从而值，且最小值为，于是

当取得最小值，且最小值为.

此时，在中，，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

【解析】略