Question

已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为

    （i）若，求直线l的倾斜角；

    （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.

Answer

（Ⅰ）【解析】
由e=，得.再由，解得a=2b.

由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1，

所以椭圆的方程为..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

(Ⅱ)(i)【解析】
由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得

.

由，得.从而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直线l的倾斜角为或.。。。。。。。。。。。。。。。6分

（ii）【解析】
设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.

以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是

由，得。

（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。

令，解得。由，，

，整理得。故。所以。

综上，或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

【解析】略