Question

椭圆的长轴长为4，焦距为2，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点

（1）求椭圆的标准方程和动点的轨迹 的方程。

（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求的面积。

（3）设轨迹与轴交于点，不同的两点在轨迹上，

满足求证：直线恒过轴上的定点。

Answer

【解析】
（1）由题设知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，

故椭圆方程为，       ………2分

∵MP=MF2，

∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 

∴点M的轨迹C2的方程为    …………5分

（2）  消去 并整理得： 

     设  则   ---------------7分

      =-----------9分

（3）Q（0，0），设     ------------10分

          ---------------------------11分

 ----------------13  分         

 故直线RS恒过定点（4，0）-------------------------------------------------------14分

【解析】略