Question

设椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁(－2,0),左准线l₁与x轴交于点N(－3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.

(1)求直线l和椭圆的方程；

(2)求证:点F₁(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.

Answer

(1)解:可知直线l:y=(x+3).

由c=2及=3,解得a2=6,

∴b2=6－22=2.∴椭圆方程为+=1.

(2)证明:联立方程组       

将②代入①,整理得2x2+6x+3=0.

设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=－3,x1x2=.

方法一:k·k=·=

===－1,

∴F1A⊥F1B,即∠AF1B=90°.

∴点F1(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.

方法二:·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2

=x1x2+2(x1+x2)+4+［x1x2+3(x1+x2)+9］

=x1x2+3(x1+x2)+7=0,

∴F1A⊥F1B,则∠AF1B=90°.

∴点F1(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.

【解析】略