Question

设函数，其中.

（1）若，求在的最小值；

（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（3）『附加题』是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

Answer

【解析】
（1）由题意知，的定义域为，

时，由，得（舍去），

当时，，当时，，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以…………7分

（2）由题意在有两个不等实根，

即在有两个不等实根，

设，则，解之得；…………14分

（3）对于函数，令函数

则，

所以函数在上单调递增，又时，恒有

即恒成立.取，则有恒成立.

显然，存在最小的正整数N＝1，使得当时，不等式恒成立…………17分

【解析】略